四阶矩阵 $A$ 的秩为 $2$，即 $\mathrm{rank}(A)\le 4-2$。所以所有三阶子式均为零，伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的每个元素均为零。

故 $A^{\ast }=0$，从而 $\mathrm{rank}(A^{\ast })=0$。