2026 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

（1）确定定积分。记 $A = \int_{0}^{1} f (x) d x$ ，它与变量 $x$ 无关，题设化为 $f (x) = \frac{1}{( 2 - x ) ^{2}} - A$ 。两边在 $[0, 1]$ 上积分，得

A = \int_{0}^{1} \frac{d x}{( 2 - x ) ^{2}} - A = \frac{1}{2 - x}_{0}^{1} - A = \frac{1}{2} - A .

因此 $A = \frac{1}{4}$ ， $f (x) = \frac{1}{( 2 - x ) ^{2}} - \frac{1}{4}$ 。回代得 $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ，满足原条件。

（2）展开并逐项求导。由几何级数，在 $∣ x ∣ < 2$ 时有

\frac{1}{2 - x} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{2 ^{n + 1}} .

幂级数在收敛区间内可以逐项求导，且求导后收敛半径不变。由于 $(\frac{1}{2 - x})^{'} = \frac{1}{( 2 - x ) ^{2}}$ ，故

\frac{1}{( 2 - x ) ^{2}} = n = 1 \sum \infty \frac{n x ^{n - 1}}{2 ^{n + 1}} = m = 0 \sum \infty \frac{m + 1}{2 ^{m + 2}} x^{m} .

这里令 $m = n - 1$ ，再将求和指标记为 $n$ 。常数项为 $\frac{1}{4}$ ，与 $f (x)$ 中的 $- \frac{1}{4}$ 抵消，因此

f (x) = n = 1 \sum \infty \frac{n + 1}{2 ^{n + 2}} x^{n} = \frac{1}{4} x + \frac{3}{16} x^{2} + \frac{1}{8} x^{3} + \dots .

（3）确定成立范围。系数 $c_{n} = \frac{n + 1}{2 ^{n + 2}}$ 满足 $n \to \infty lim ∣ \frac{c _{n + 1}}{c _{n}} ∣ = \frac{1}{2}$ ，故收敛半径为 $2$ 。在 $x = 2$ 和 $x = - 2$ 处，通项分别为 $\frac{n + 1}{4}$ 和 $(- 1)^{n} \frac{n + 1}{4}$ ，均不趋于零，因此两端点都发散，展开式成立范围为 $- 2 < x < 2$ 。例如 $f (1) = \frac{3}{4}$ ， $f (- 1) = - \frac{5}{36}$ ，与所得表达式一致。

答案