2010 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

求函数

u = x y + 2 y z

在约束条件

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10

下的最大值和最小值。

答案

最大值为 $55$ ，最小值为 $- 55$

解析

约束为非空紧球面，目标函数连续，故最大值和最小值均存在。约束函数的梯度为 $2 (x, y, z)$ ，在球面上不为零，故最值点满足拉格朗日条件。令 $L = x y + 2 y z + λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10)$ ，得

y + 2 λ x x + 2 z + 2 λ y 2 y + 2 λ z x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0, = 0, = 0, = 10.

若 $λ = 0$ ，则 $y = 0, x = - 2 z$ ，约束给出 $z = \pm 2$ ，此时 $u = 0$ 。
若 $λ \neq = 0$ ，由第一、三式得 $z = 2 x$ 、 $y = - 2 λ x$ ，再代入第二式得 $(4 λ^{2} - 5) x = 0$ 。若 $x = 0$ 则三坐标全为零，与球面约束矛盾，故 $λ = \pm \frac{5}{2}$ 。约束进一步给出 $10 x^{2} = 10$ ，即 $x = \pm 1$ 。此时 $u = y (x + 2 z) = 5 x y = - 10 λ$ 。
比较候选值 $0, \pm 55$ ，最大值为 $55$ ，在 $(1, 5, 2)$ 、 $(- 1, - 5, - 2)$ 处取得；最小值为 $- 55$ ，在 $(1, - 5, 2)$ 、 $(- 1, 5, - 2)$ 处取得。

由柯西不等式， $∣ x + 2 z ∣ \leq 5 x^{2} + z^{2} = 5 10 - y^{2}$ ，所以

∣ u ∣ = ∣ y (x + 2 z) ∣ \leq 5 ∣ y ∣ 10 - y^{2} \leq \frac{5}{2} [y^{2} + (10 - y^{2})] = 55 .

第二个不等式由 $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ 得到。两步同时取等要求 $z = 2 x$ 、 $y^{2} = 5$ ；结合约束得 $x^{2} = 1$ 。当 $(x, y, z) = (1, 5, 2)$ 时取到 $55$ ，当 $(1, - 5, 2)$ 时取到 $- 55$ ，因此上下界均可达，分别为最大值、最小值。

令 $X = (x, y, z)^{T}$ ，则 $u = X^{T} A X$ ，其中

A = 0 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} 01 010 .

实对称矩阵 $A$ 的特征方程为 $det (A - μ I) = - μ^{3} + \frac{5 μ}{4} = 0$ ，特征值为 $0, \pm \frac{5}{2}$ 。由正交对角化，在 $X^{T} X = 10$ 上，二次型最大值和最小值分别为最大、最小特征值的 $10$ 倍，故为 $\pm 55$ 。对应特征向量可取 $(1, 5, 2)$ 、 $(1, - 5, 2)$ ，其模平方均为 $10$ ，确实满足约束并取得相应值。