2023 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}, - \infty < x < + \infty

，令

Y = e^{X}

。

答案

$F (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} )}$ ， $x \in R$ 。

f_{Y} (y) = {(1 + y)^{- 2}, 0, y > 0, y \leq 0.

期望不存在（非负变量的期望积分发散至 $+ \infty$ ）。

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由定义积分，令 $u = 1 + e^{t}$ ，则 $d u = e^{t} d t$ ，当 $t$ 从 $- \infty$ 到 $x$ 时， $u$ 从 $1$ 到 $1 + e^{x}$ ，所以

F (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{e ^{t}}{( 1 + e ^{t} ) ^{2}} d t = \int_{1}^{1 + e^{x}} \frac{d u}{u ^{2}} = [- \frac{1}{u}]_{1}^{1 + e^{x}} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} .

其在两端的极限分别为 $0, 1$ ，且导数为题设密度。

因 $Y = e^{X} > 0$ ，当 $y \leq 0$ 时 $F_{Y} (y) = 0$ 。当 $y > 0$ 时，指数函数严格递增，故

F_{Y} (y) = P {X \leq ln y} = F (ln y) = \frac{y}{1 + y} .

对 $y > 0$ 求导，并在其余处取零，得

f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}, 0, y > 0, y \leq 0.

分布函数在 $0$ 处连续，没有额外点质量。

$Y$ 非负，有限期望存在当且仅当 $\int_{0}^{+ \infty} y f_{Y} (y) d y$ 收敛。取 $A > 0$ ，有

\int_{0}^{A} \frac{y}{( 1 + y ) ^{2}} d y = \int_{0}^{A} (\frac{1}{1 + y} - \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}) d y = ln (1 + A) + \frac{1}{1 + A} - 1.

当 $A \to + \infty$ 时右端趋于 $+ \infty$ ，故 $Y$ 没有有限期望，通常表述为期望不存在。

也可直接由 $Y = e^{X}$ 得

E (Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e ^{2 x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x .

被积函数非负，且当 $x \to + \infty$ 时趋于 $1$ ，从而其在足够大的正半轴上大于 $\frac{1}{2}$ ，积分发散。等价地， $y f_{Y} (y) \sim \frac{1}{y}$ ，可与发散的对数积分比较。