2023 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

，若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

与

n = 1 \sum \infty b_{n}

均收敛，则“

n = 1 \sum \infty a_{n}

绝对收敛”是“

n = 1 \sum \infty b_{n}

绝对收敛”的（　　）。

A
充分必要条件
正确答案
B
充分不必要条件
C
必要不充分条件
D
既不充分也不必要条件

答案

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令 $c_{n} = b_{n} - a_{n} > 0$ 。因为 $\sum a_{n}$ 、 $\sum b_{n}$ 均收敛，由收敛级数的线性性质， $\sum c_{n}$ 收敛；又 $c_{n} > 0$ ，所以它也绝对收敛。
充分性：若 $\sum a_{n}$ 绝对收敛，由 $b_{n} = a_{n} + c_{n}$ 得 $∣ b_{n} ∣ \leq ∣ a_{n} ∣ + c_{n}$ 。右端对应级数收敛，比较判别法给出 $\sum ∣ b_{n} ∣$ 收敛。
必要性：若 $\sum b_{n}$ 绝对收敛，由 $a_{n} = b_{n} - c_{n}$ 得 $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣ + c_{n}$ 。同理 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛。
两方向均成立，故为充分必要条件，选 A。这里并未使用不成立的推断 $a_{n} < b_{n} \Rightarrow ∣ a_{n} ∣ < ∣ b_{n} ∣$ ，关键是两级数之差为收敛正项级数。