记全一矩阵为 $J$，反序置换矩阵为 $P$，则所给矩阵为 $J-P$，且 $J$ 与 $P$ 可交换。

反序矩阵 $P$ 的 $+1$ 特征子空间由 $(a,b,b,a{)}^T$ 组成，$-1$ 特征子空间由 $(a,b,-b,-a{)}^T$ 组成，两者维数均为 $2$。全一向量属于前者，因此在全一向量的正交补内，这两个特征值的重数分别为 $1,2$。在全一向量方向上，$J-P$ 的特征值为 $4-1=3$。在其正交补上 $J=0$，而 $P$ 的特征值 $+1,-1$ 的相应重数为 $1,2$，故 $J-P$ 的其余特征值为 $-1,1,1$。

行列式等于特征值之积：$3\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1=-3$。