2010 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = A e^{- 2 x^{2} + 2 x y - y^{2}}, - \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty

。求常数

A

及条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

。

答案

$A = \frac{1}{π}$ ；对任意 $x \in R$ ， $f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = π^{- \frac{1}{2}} e^{- (y - x)^{2}}$ （ $y \in R$ ）。

解析

先对 $y$ 配方， $- 2 x^{2} + 2 x y - y^{2} = - (y - x)^{2} - x^{2}$ 。利用高斯积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π$ ，密度归一性给出

1 = A \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- (y - x)^{2}} d y) d x = A π \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = A π .

因此 $A = \frac{1}{π}$ 。内层积分令 $t = y - x$ ，其值与 $x$ 无关。再求边缘密度：

f_{X} (x) = \frac{e ^{- x^{2}}}{π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- (y - x)^{2}} d y = \frac{1}{π} e^{- x^{2}} > 0, x \in R .

故对所有 $x \in R$ ，条件密度为

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{1}{π} e^{- (y - x)^{2}}, y \in R .

它是均值 $x$ 、方差 $\frac{1}{2}$ 的正态密度。注意指数没有分母 $2$ ，因此条件方差不是 $1$ 。

也可与二维正态密度标准形式比较。均值均为 $0$ ，设方差为 $σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}$ ，相关系数为 $ρ$ 。比较 $x^{2}, x y, y^{2}$ 的系数，得到

\frac{1}{2 ( 1 - ρ ^{2} ) σ _{1}^{2}} = 2,

\frac{ρ}{( 1 - ρ ^{2} ) σ _{1} σ _{2}} = 2,

\frac{1}{2 ( 1 - ρ ^{2} ) σ _{2}^{2}} = 1.

首末两式给出 $σ_{2}^{2} = 2 σ_{1}^{2}$ 。令 $s = σ_{1}^{2}$ ，则 $(1 - ρ^{2}) s = \frac{1}{4}$ ，代入中式得 $ρ = \frac{1}{2}$ ，继而 $s = \frac{1}{2}, σ_{2}^{2} = 1$ 。归一化系数为

A = \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2} 1 - ρ ^{2}} = \frac{1}{π} .

二维正态条件分布的均值为 $ρ (\frac{σ _{2}}{σ _{1}}) x = x$ ，方差为 $σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2}) = \frac{1}{2}$ ，所以 $Y ∣ X = x \sim N (x, \frac{1}{2})$ ，得到相同条件密度。