真题库

设$m,n$是正整数，则反常积分${\int }_0^1\frac{\sqrt[m]{{\ln }^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\mathrm{d}x$的收敛性（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=$（　　）。

设$A$为$m\times n$矩阵，$B$为$n\times m$矩阵，$E$为$m$阶单位矩阵，若$AB=E$，则（　　）。

设$A$为$4$阶实对称矩阵，且$A^2+A=O$，若$A$的秩为$3$，则$A$相似于（　　）。

设随机变量$X$的分布函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 1\end{array}$，则$P\{X=1\}=$（　　）。

设$f_1(x)$为标准正态分布的概率密度，$f_2(x)$为$[-1,3]$上均匀分布的概率密度，若$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{f}_1(x),& x\le 0,\\ b{f}_2(x),& x>0\end{array}$（$a>0,b>0$）为概率密度，则$a,b$应满足（　　）。

设$\{\begin{array}{l}x={\mathrm{e}}^{-t},\\ y={\int }_0^t\ln (1+u^2)\mathrm{d}u\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=0}=$ 。

${\int }_0^{{\pi }^2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\mathrm{d}x=$ 。

已知曲线$L$的方程为$y=1-|x|(x\in [-1,1])$，起点是$(-1,0)$，终点是$(1,0)$，则曲线积分${\int }_{L}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y=$ 。

设$\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 1\}$，则$\Omega$的形心的竖坐标$\overline{z}=$ 。

设${\alpha }_1=(1,2,-1,0{)}^T$，${\alpha }_2=(1,1,0,2{)}^T$，${\alpha }_3=(2,1,1,a{)}^T$，若由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$生成的向量空间的维数是$2$，则$a=$ 。

设随机变量$X$的概率分布为$P\{X=k\}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\cdots$，则$E(X^2)=$ 。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2x{\mathrm{e}}^x$的通解。

求函数$f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$的单调区间与极值。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n}$的收敛域及和函数。

设$P$为椭球面$S:x^2+y^2+z^2-yz=1$上的动点，若$S$在点$P$处的切平面与$xOy$面垂直，求点$P$的轨迹$C$，并计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$是椭球面$S$位于曲线$C$上方的部分。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right)$，$b=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，已知线性方程组$Ax=b$存在两个不同的解。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$在正交变换$x=Qy$下的标准形为$y_1^2+y_2^2$，且$Q$的第$3$列为$(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^T$。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=A{\mathrm{e}}^{-2x^2+2xy-y^2},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$。求常数$A$及条件概率密度$f_{Y\mid X}(y\mid x)$。