真题库

已知函数$F(x)=\frac{{\int }_0^x\ln (1+t^2)\mathrm{d}t}{x^a}$，设$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=0$，求$a$的取值范围。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}{t}^3+t+\frac{1}{3},\\ y=\frac{1}{3}{t}^3-t+\frac{1}{3}\end{array}$确定，求$y=y(x)$的极值和曲线$y=y(x)$的凹凸区间及拐点。

设函数$y(x)$具有二阶导数，且曲线$l:y=y(x)$与直线$y=x$相切于原点，记$\alpha$为曲线$l$在点$(x,y)$处切线的倾角，若$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，求$y(x)$的表达式。

一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$与$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$连接而成。长度单位为$\text{m}$，重力加速度为$g\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$，水的密度为$10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

设$\{u_n\}$是数列，则下列命题正确的是（　　）。

设$A$为$4\times 3$矩阵，${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$是非齐次线性方程组$Ax=\beta$的三个线性无关的解，$k_1,k_2$为任意常数，则通解为（　　）。

设总体$X$服从参数为$\lambda >0$的泊松分布，$X_1,\dots ,X_n$（$n\ge 2$）为来自该总体的简单随机样本，$T_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，$T_2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n-1}{X}_i+\frac{1}{n}{X}_n$，则有（　　）。

设$f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }x(1+3t{)}^{\frac{x}{t}}$，则$f^{\prime }(x)=$ 。

设$z=(1+\frac{x}{y}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\mathrm{d}z{|}_{(1,1)}=$ 。

曲线$\tan (x+y+\frac{\pi }{4})={\mathrm{e}}^y$在点$(0,0)$处的切线方程为 。

曲线$y=\sqrt{x^2-1}$、直线$x=2$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转的体积为 。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$的秩为$1$，$A$的各行元素之和为$3$，则$f$在正交变换$x=Qy$下的标准形为 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2\sin x}-x-1}{x\ln (1+x)}$。

已知$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，$f(1,1)=2$是极值，$z=f[x+y,f(x,y)]$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}$。

求$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$。

证明$4\arctan x-x+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}=0$恰有两个实根。

设$f(x)$在$[0,1]$有连续导数，$f(0)=1$，且${\iint }_{D_t}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_t}f(t)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D_t=\{(x,y)\mid 0\le y\le t-x,0\le x\le t\}(0<t\le 1)$，求$f(x)$。

设二维随机变量$(X,Y)$服从区域$G$上的均匀分布，其中$G$由$x-y=0$，$x+y=2$与$y=0$围成。

极限$\underset{x\to \infty }{\lim }[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$（　　）。

设函数$z=z(x,y)$由方程$F(\frac{y}{x},\frac{z}{x})=0$确定，其中$F$为可微函数，且$F_2^{\prime }\ne 0$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$（　　）。