真题库

若二次曲面的方程为$x^2+3y^2+z^2+2axy+2xz+2yz=4$，经过正交变换化为$y_1^2+4z_1^2=4$，则$a=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$服从正态分布$N(\mu ,\mu ;{\sigma }^2,{\sigma }^2;0)$，则$E(X{Y}^2)=$ 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$。

设函数$z=f(xy,yg(x))$，其中函数$f$具有二阶连续偏导数，函数$g(x)$可导且在$x=1$处取得极值$g(1)=1$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}}$。

求方程$k\arctan x-x=0$不同实根的个数，其中$k$为参数。

已知函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且$f(1,y)=0$，$f(x,1)=0$，${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算二重积分$I={\iint }_{D}xy\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设向量组${\alpha }_1=(1,0,1{)}^T$，${\alpha }_2=(0,1,1{)}^T$，${\alpha }_3=(1,3,5{)}^T$不能由向量组${\beta }_1=(1,1,1{)}^T$，${\beta }_2=(1,2,3{)}^T$，${\beta }_3=(3,4,a{)}^T$线性表示。

设$A$为三阶实对称矩阵，$r(A)=2$，且$A\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$。

设随机变量$X$与$Y$的概率分布见下表，且$P\{X^2=Y^2\}=1$。

设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自正态总体$N({\mu }_0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其中${\mu }_0$已知，${\sigma }^2>0$未知。$\overline{X}$和$S^2$分别表示样本均值和样本方差。

已知当$x\to 0$时，$f(x)=3\sin x-\sin 3x$与$c{x}^k$是等价无穷小，则（　　）。

已知$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}f(x)-2f(x^3)}{x^3}=$（　　）。

函数$f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$的驻点个数为（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y={\mathrm{e}}^{\lambda x}+{\mathrm{e}}^{-\lambda x}(\lambda >0)$的特解形式为（　　）。

设函数$f(x)$，$g(x)$均有二阶连续导数，满足$f(0)>0$，$g(0)<0$，且$f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=0$，则函数$z=f(x)g(y)$在点$(0,0)$处取得极小值的一个充分条件是（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+2^x}{2}{)}^{\frac{1}{x}}=$ 。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0\end{array}(\lambda >0)$，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x=$ 。

设平面区域$D$由直线$y=x$，圆$x^2+y^2=2y$及$y$轴围成，则二重积分${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma =$ 。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$的正惯性指数为 。