真题库

设总体$X$的概率分布见下表，其中参数$\theta \in (0,1)$未知。以$N_i$表示来自总体$X$的容量为$n$的简单随机样本中等于$i$的个数（$i=1,2,3$）。

函数$f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$的无穷间断点的个数为（　　）。

设$y_1,y_2$是一阶线性非齐次微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda ,\mu$使$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）。

曲线$y=x^2$与曲线$y=a\ln x(a\ne 0)$相切，则$a=$（　　）。

设向量组Ⅰ：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$可由向量组Ⅱ：${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$线性表示，下列命题正确的是（　　）。

3 阶常系数线性齐次微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的通解为$y=$ 。

曲线$y=\frac{2x^3}{x^2+1}$的渐近线方程为 。

函数$y=\ln (1-2x)$在$x=0$处的$n$阶导数$y^{(n)}(0)=$ 。

当$0\le \theta \le \pi$时，对数螺线$r={\mathrm{e}}^{\theta }$的弧长为 。

已知一个长方形的长$l$以$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，宽$w$以$3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，则当$l=12\mathrm{cm},w=5\mathrm{cm}$时，它的对角线增加的速率为 。

设$A,B$为$3$阶矩阵，且$|A|=3,|B|=2,|A^{-1}+B|=2$，则$|A+B^{-1}|=$ 。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

一个高为$l$的柱体形贮油罐，底面是长轴为$2a$、短轴为$2b$的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为$\frac{3}{2}b$时（如图），计算油的质量。长度单位为$\text{m}$，质量单位为$\text{kg}$，油的密度为常数$\rho \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

设函数$u=f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足等式$4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+12\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+5\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$。确定$a,b$的值，使等式在变换$\xi =x+ay,\eta =x+by$下化简为$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0$。

计算二重积分$I={\iint }_D{r}^2\sin \theta \sqrt{1-r^2\cos 2\theta }\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，其中$D=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le \sec \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\}$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=\frac{1}{3}$。证明：存在$\xi \in (0,\frac{1}{2}),\eta \in (\frac{1}{2},1)$，使得$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 3& a\\ 4& a& 0\end{array}\right)$，正交矩阵$Q$使得$Q^{T}AQ$为对角矩阵。若$Q$的第$1$列为$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T$，求$a,Q$。

若$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-a){\mathrm{e}}^x]=1$，则$a$等于（　　）。

设函数$f(x),g(x)$具有二阶导数，且$g^{\prime \prime }(x)<0$，若$g(x_0)=a$是$g(x)$的极值，则$f(g(x))$在$x_0$取极大值的一个充分条件是（　　）。

设$f(x)={\ln }^{10}x,g(x)=x,h(x)={\mathrm{e}}^{\frac{x}{10}}$，则当$x$充分大时有（　　）。