展开多项式得 $x(x-1)(x-\frac{1}{2})=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$，于是

$${\int }_0^{1}x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0.$$

利用关于区间中点的对称性。令 $u=x-\frac{1}{2}$，则 $x=u+\frac{1}{2}$、$x-1=u-\frac{1}{2}$，故

$${\int }_0^{1}x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(u^3-\frac{1}{4}u\right)\mathrm{d}u=0.$$

最后一步因为被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称。