2026 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x)

，随机变量

Y

的分布函数为

F (a y + b)

。

X

的期望和方差为

μ, σ^{2} (σ > 0)

；若

Y

的期望和方差为 0 和 1，则（　　）。

A
$a = σ, b = μ$
正确答案
B
$a = σ, b = - μ$
C
$a = \frac{1}{σ}, b = μ$
D
$a = \frac{1}{σ}, b = - μ$

答案

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先确定 $a$ 的符号。若 $a = 0$ ， $F (a y + b)$ 为常数，不能同时满足分布函数在两端的极限；若 $a < 0$ ，当 $y \to - \infty$ 时它趋于 $1$ ，当 $y \to + \infty$ 时趋于 $0$ ，也不符合分布函数条件。因此 $a > 0$ 。
于是

P {\frac{X - b}{a} \leq y} = P {X \leq a y + b} = F (a y + b) .

所以 $Y$ 与 $\frac{( X - b )}{a}$ 同分布，而非仅由记号直接认作同一个随机变量。因此

E (Y) Var (Y) = \frac{μ - b}{a} = 0, = \frac{σ ^{2}}{a ^{2}} = 1.

第一式给出 $b = μ$ ，第二式结合 $a > 0, σ > 0$ 给出 $a = σ$ ，选 A。