将函数写为 $y=\frac{6}{(x-1{)}^2+3}$。分母恒正，图形关于 $x=1$ 对称，且 $y>0$。

图形由左侧贴近 $y=0$ 上升，经过 $(0,\frac{3}{2})$ 到达最高点 $(1,2)$，再对称下降，经过 $(2,\frac{3}{2})$ 并从上方趋近 $y=0$。以这些特征即可作图。

当 $x<1$ 时 $y^{\prime }>0$，故单调增加区间为 $(-\infty ,1)$。

由 $y^{\prime }=-\frac{12(x-1)}{((x-1{)}^2+3{)}^2}$，当 $x>1$ 时 $y^{\prime }<0$，故单调减少区间为 $(1,+\infty )$。

唯一驻点为 $x=1$。一阶导数在该点左正右负，且 $y(1)=2$，所以极大值点为 $(1,2)$。

函数先增后减，在 $x=1$ 处取得极大值 $2$。函数始终为正并在两端趋于 $0$ 而不取到 $0$，因此无极小值。

凹 $(\cup )$ 要求 $y^{\prime \prime }>0$，故区间为 $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$。

由二阶导数表达式，$0<x<2$ 时 $y^{\prime \prime }<0$，故凸 $(\cap )$ 区间为 $(0,2)$。

二阶导数在 $x=0$ 与 $x=2$ 两侧均变号。又 $y(0)=y(2)=\frac{3}{2}$，所以拐点为 $(0,\frac{3}{2})$、$(2,\frac{3}{2})$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，$y\to 0$，故水平渐近线为 $y=0$。分母 $(x-1{)}^2+3>0$，不存在竖直渐近线；也无其他渐近线。