真题库

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

已知某商品的需求量$D$和供给量$S$都是价格$p$的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2},S=S(p)=bp$，其中$a>0$和$b>0$为常数；价格$p$是时间$t$的函数且满足方程$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=k[D(p)-S(p)]$（$k$为正的常数）。假设当$t=0$时价格为$1$。