真题库

设$f(x)$在点$x=0$的某一邻域内具有二阶连续导数，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(\frac{1}{n})$绝对收敛。

假设$f(x)$在$[a,+\infty )$上连续，$f^{\prime \prime }(x)$在$(a,+\infty )$内存在且大于零，记$F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$。证明$F(x)$在$(a,+\infty )$内单调增加。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

设$\{\begin{array}{l}x=\cos (t^2)\\ y=t\cos (t^2)-{\int }_1^{t^2}\frac{\cos u}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u\end{array}$。

设函数$y=\frac{x^3+4}{x^2}$。

运用导数的知识作函数$y=(x+6){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的图形。

设$y=\sin [f(x^2)]$，其中$f$具有二阶导数，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

已知某厂生产$x$件产品的成本为$C=25000+200x+\frac{1}{40}{x}^2$（元）。

设在$[0,+\infty )$上函数$f(x)$有连续导数，且$f^{\prime }(x)\ge k>0$，$f(0)<0$，证明$f(x)$在$(0,+\infty )$内有且仅有一个零点。

设$b>a>\mathrm{e}$，证明$a^b>b^a$。

设某产品的成本函数为$C=a{q}^2+bq+c$，需求函数为$q=\frac{1}{e}(d-p)$，其中$C$为成本，$q$为需求量（即产量），$p$为单价，$a,b,c,d,e$都是正常数，且$d>b$。

作半径为$r$的球的外切正圆锥。

设$p,q$是大于$1$的常数，且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。证明：对于任意$x>0$，有$\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$。

假设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内二阶可导。过点$A(0,f(0))$与$B(1,f(1))$的直线与曲线$y=f(x)$相交于点$C(c,f(c))$，其中$0<c<1$。证明：在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$。

设$x>0$，常数$a>\mathrm{e}$，证明：$(a+x{)}^a<a^{a+x}$。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi x}{2}}$。

设曲线方程为$y={\mathrm{e}}^{-x}$（$x\ge 0$）。

设函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^y=1$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$的值。

设生产某产品的固定成本为$10$，而当产量为$x$时的边际成本函数为$MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为$MR=32+10x$。