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求曲线$y=\sqrt{x}$的一条切线$l$，使该曲线与切线$l$及直线$x=0$、$x=2$所围成的平面图形面积最小。

求证：方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$。

设$f^{\prime \prime }(x)<0$，$f(0)=0$。证明对任何$x_1>0,x_2>0$，有$f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$。

给定曲线$y=\frac{1}{x^2}$。

求证：当$x\ge 1$时，$\arctan x-\frac{1}{2}\arccos \frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$。

证明不等式$\ln (1+\frac{1}{x})>\frac{1}{1+x}$（$0<x<+\infty$）。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\frac{1}{x}}$。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)$。证明在$(0,1)$内存在一点$c$，使$f^{\prime }(c)=0$。

利用导数证明：当$x>1$时，有不等式$\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$。

如图，$A$和$D$分别是曲线$y={\mathrm{e}}^x$和$y={\mathrm{e}}^{-2x}$上的点，$AB$和$DC$均垂直于$x$轴，且$|AB|:|DC|=2:1$，$|AB|<1$。求点$B$和$C$的横坐标，使梯形$ABCD$的面积最大。

设$\{\begin{array}{l}x=t\cos t\\ y=t\sin t\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2({\mathrm{e}}^x-1)}$。

证明函数$f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$在区间$(0,+\infty )$内单调增加。

在过点$O(0,0)$和$A(\pi ,0)$的曲线族$y=a\sin x$（$a>0$）中，求一条曲线$L$，使沿该曲线从$O$到$A$的积分${\int }_L(1+y^3)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y$的值最小。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^{\prime }(\xi )>0$。

证明：当$x>0$时，有不等式$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

证明不等式$1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})\ge \sqrt{1+x^2}$，其中$-\infty <x<+\infty$。