真题库

求曲线$y=\frac{1}{1+x^2}$（$x>0$）的拐点。

求由方程$2y-x=(x-y)\ln (x-y)$所确定的函数$y=y(x)$的微分$\mathrm{d}y$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。

设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f^{\prime }(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，且$f(0)=0$。试应用拉格朗日中值定理证明不等式$f(a+b)\le f(a)+f(b)$，其中常数$a,b$满足条件$0\le a\le b\le a+b\le c$。

求函数$I(x)={\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\ln t}{t^2-2t+1}\mathrm{d}t$在区间$[\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2]$上的最大值。

证明方程$\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x$在区间$(0,+\infty )$内有且仅有两个不同实根。

已知$y=\arcsin {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$，求$y^{\prime }$。

设某厂家打算生产一批商品投放市场。已知该商品的需求函数为$P=P(x)=10{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为$6$，其中$x$表示需求量，$P$表示价格。

对函数$y=\frac{x+1}{x^2}$，填写下表：

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\le 0$，记$F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，证明在$(a,b)$内，$F^{\prime }(x)\le 0$。

设半径为$R$的球面$\Sigma$的球心在定球面$x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$上，问当$R$为何值时，球面$\Sigma$在定球面内部的那部分的面积最大？

设抛物线$y=a{x}^2+bx+c$过原点，当$0\le x\le 1$时$y\ge 0$，又已知该抛物线与$x$轴及直线$x=1$所围图形的面积为$\frac{1}{3}$，试确定$a,b,c$，使此图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体的体积$V$最小。

已知某企业的总收入函数为$R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为$C=8x+x^2$，其中$x$表示产品的产量。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$。

已知$\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2)\\ y=\arctan t\end{array}$，求下列各项。

已知函数$y=\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}$，试求其单调区间、极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线，并画出函数的图形。

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

已知$y=1+x{\mathrm{e}}^{xy}$。

确定常数$a$和$b$，使函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x>1\\ x^2,& x\le 1\end{array}$处处可导。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。