真题库

设函数$f(x)$在区间$[0,2]$上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0$，$M={\max }_{x\in [0,2]}\{|f(x)|\}$。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(0)=0,f(1)=1,{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=1$。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x},& x>0\\ x{\mathrm{e}}^x+1,& x\le 0\end{array}$

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

已知常数$k\ge \ln 2-1$，证明：$(x-1)(x-{\ln }^{2}x+2k\ln x-1)\ge 0$。

已知实数$a,b$满足$\underset{x\to +\infty }{\lim }[(ax+b){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-x]=2$，求$a,b$。

已知方程$\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$在区间$(0,1)$内有实根，求$k$的范围。

已知函数$y(x)$由方程$x^3+y^3-3x+3y-2=0$确定，求$y(x)$的极值。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(1)>0$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}<0$。证明：

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}$。

设函数$f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$f^{\prime }(x)$并求$f(x)$的最小值。

设某商品的最大需求量为$1200$件，该商品的需求函数为$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价（万元）。

已知$f(x)$在$[0,\frac{3\pi }{2}]$上连续，在$(0,\frac{3\pi }{2})$内是函数$\frac{\cos x}{2x-3\pi }$的一个原函数，且$f(0)=0$。

设函数$f(x)=x+a\ln (1+x)+bx\sin x,g(x)=k{x}^3$，若$f(x)$与$g(x)$在$x\to 0$时是等价无穷小，求$a,b,k$的值。

已知函数$f(x)={\int }_x^1\sqrt{1+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^{x^2}\sqrt{1+t}\mathrm{d}t$，求$f(x)$的零点个数。

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$Q$为该商品的需求量，$P$为价格，$MC$为边际成本，$\eta$为需求弹性（$\eta >0$）。

已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上具有$2$阶导数，$f(a)=0,f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$。设$b>a$，曲线$y=f(x)$在点$(b,f(b))$处的切线与$x$轴的交点是$(x_0,0)$，证明$a<x_0<b$。