真题库

设函数$y=f(x)$由方程$y^3+x{y}^2+x^{2}y+6=0$确定，求$f(x)$的极值。

已知函数$y=y(x)$满足微分方程$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$，且$y(2)=0$，求$y(x)$的极大值和极小值。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{\frac{1}{t}}-1)-t]\mathrm{dt}}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}$。

设奇函数$f(x)$在$[-1,1]$上具有二阶导数，且$f(1)=1$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$。证明：

设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$P=60-\frac{Q}{1000}$（$P$是单价，单位：元；$Q$是销量，单位：件），已知产销平衡。

当$x\to 0$时，$1-\cos x\cos 2x\cos 3x$与$a{x}^n$为等价无穷小，求$n$与$a$的值。

设函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

已知$f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$，记$a=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$。

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}-{\mathrm{e}}^{2-2\cos x}}{x^4}$。

设$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

证明方程$x^n+x^{n-1}+\cdots +x=1(n>1)$在$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根，记为$x_n$。

证明：$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}(-1<x<1)$。

证明$4\arctan x-x+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}=0$恰有两个实根。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}{t}^3+t+\frac{1}{3},\\ y=\frac{1}{3}{t}^3-t+\frac{1}{3}\end{array}$确定，求$y=y(x)$的极值和曲线$y=y(x)$的凹凸区间及拐点。

求方程$k\arctan x-x=0$不同实根的个数，其中$k$为参数。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2\sin x}-x-1}{x\ln (1+x)}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$。

已知函数$F(x)=\frac{{\int }_0^x\ln (1+t^2)\mathrm{d}t}{x^a}$，设$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=0$，求$a$的取值范围。