真题库

求函数$f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$的单调区间与极值。

设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内存在二阶导数，且$2f(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=f(2)+f(3)$

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=\frac{1}{3}$。证明：存在$\xi \in (0,\frac{1}{2}),\eta \in (\frac{1}{2},1)$，使得$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{{\sin }^{4}x}$。

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}$。

设银行存款的年利率为$r=0.05$，并依年复利计算。某基金会希望通过存款$A$万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，……，第$n$年取出$10+9n$万元，并能按此规律一直提取下去，问$A$至少应为多少万元？

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设函数$f(x)={\int }_0^1|t(t-x)|\mathrm{d}t(0<x<1)$，求$f(x)$的极值、单调区间及曲线$y=f(x)$的凹凸区间。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：存在$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。

设函数$y=y(x)$由方程$y\ln y-x+y=0$确定，试判断曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$附近的凹凸性。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

已知函数$f(u)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=1$，函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^{y-1}=1$所确定。设$z=f(\ln y-\sin x)$，求：

证明：当$0<a<b<\pi$时，$b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。