真题库

设$f(x,y)=\frac{y}{1+xy}-\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}$，$x>0,y>0$，求：

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

设数列$\{x_n\}$满足$0<x_1<\pi ,x_{n+1}=\sin x_n(n=1,2,\dots )$。

试确定常数$A,B,C$的值，使得${\mathrm{e}}^x(1+Bx+C{x}^2)=1+Ax+o(x^3)$，其中$o(x^3)$是当$x\to 0$时比$x^3$高阶的无穷小。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+x}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}-\frac{1}{x})$。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$。证明：

用变量代换$x=\cos t(0<t<\pi )$化简微分方程$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$，并求其满足$y{|}_{x=0}=1,y^{\prime }{|}_{x=0}=2$的特解。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有定义，在区间$[0,2]$上，$f(x)=x(x^2-4)$，若对任意的$x$都满足$f(x)=kf(x+2)$，其中$k$为常数。

设$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0,\\ {\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,\end{array}$，$S$表示夹在$x$轴与曲线$y=F(x)$之间的面积。对任何$t>0$，$S_1(t)$表示矩形$-t\le x\le t,0\le y\le F(t)$的面积。求：

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}[(\frac{2+\cos x}{3}{)}^x-1]$。

设$\mathrm{e}<a<b<{\mathrm{e}}^2$，证明${\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}(b-a)$。

设某商品的需求函数为$Q=100-5P$，其中价格$P\in (0,20)$，$Q$为需求量。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2})$。

设$f(x)={\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin t|\mathrm{d}t$。

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。

讨论曲线$y=4\ln x+k$与$y=4x+{\ln }^{4}x$的交点个数。

设函数$f(x)$在$[0,3]$连续，在$(0,3)$可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1$。证明存在$\xi \in (0,3)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+a{x}^3)}{x-\arcsin x},& x<0,\\ 6,& x=0,\\ \frac{{\mathrm{e}}^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}},& x>0.\end{array}$