真题库

设$a>1$，$f(t)=a^t-at$在$(-\infty ,+\infty )$内的驻点为$t(a)$。问$a$为何值时，$t(a)$最小？并求出最小值。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=1+2t^2,\\ y={\int }_1^{1+2\ln t}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u\end{array}(t>1)$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=9}$。

设函数$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，且$f^{\prime }(x)>0$。若$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(2x-a)}{x-a}$存在，证明：

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。

设$0<a<b$，证明不等式$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有一阶连续导数，且$f(0)\ne 0,f^{\prime }(0)\ne 0$。若$af(h)+bf(2h)-f(0)$在$h\to 0$时是比$h$高阶的无穷小，试确定$a,b$的值。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

设某商品需求量$Q$是价格$p$的单调减少函数：$Q=Q(p)$，其需求弹性$\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}>0$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有二阶连续导数，且$f(0)\ne 0$，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f^{\prime \prime }(0)\ne 0$。证明：存在唯一的一组实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，使得当$h\to 0$时，${\lambda }_{1}f(h)+{\lambda }_{2}f(2h)+{\lambda }_{3}f(3h)-f(0)$是比$h^2$高阶的无穷小。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

已知曲线的极坐标方程是$r=1-\cos \theta$，求该曲线上对应于$\theta =\frac{\pi }{6}$处的切线与法线的直角坐标方程。

已知两曲线$y=f(x)$与$y={\int }_0^{\arctan x}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$在点$(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{2}{n})$。

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

设$y=f(x)$在$(-1,1)$内具有二阶连续导数且$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$。

某商品进价为$a$元/件。根据以往经验，当销售价为$b$元/件时，销售量为$c$件（$a,b,c$均为正常数，且$b\ge \frac{4}{3}a$）。市场调查表明，销售价每下降$10\%$，销售量可增加$40\%$。现决定一次性降价。

已知抛物线$y=p{x}^2+qx(p<0,q>0)$在第一象限与直线$x+y=5$相切，且此抛物线与$x$轴所围成的平面图形的面积为$S$。

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x(k>1)$。证明：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$。