真题库

已知$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+c}{x-c}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-f(x-1)]$，求$c$的值。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=3{\int }_0^{\frac{1}{3}}{\mathrm{e}}^{1-x^2}f(x)\mathrm{d}x$。证明至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

求函数$f(x)=x^2\ln (1+x)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)(n\ge 3)$。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

已知$f(x)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是当$x\to 0$时比$x$高阶的无穷小，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。

设函数$y=(x-1){\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$。

已知函数$y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$。完成下列证明：

证明：当$x>0$时，$(x^2-1)\ln x\ge (x-1{)}^2$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln (1+x)-x^2}$。

设函数$f(x)$在闭区间$[-1,1]$上具有三阶连续导数，且$f(-1)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0$。证明在开区间$(-1,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$。

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

证明：当$0<x<\pi$时，有$\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi }$。

设$x\in (0,1)$。

设$y=y(x)$是一向上凸的连续曲线，其上任意一点$(x,y)$处的曲率为$\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，且此曲线上点$(0,1)$处的切线方程为$y=x+1$。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$（$n$为自然数）。

确定常数$a,b,c$的值，使$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}\mathrm{d}t}=c$（$c\ne 0$）。