真题库

设$y=f(x)$是区间$[0,1]$上的任一非负连续函数。完成下列各问：

设直线$y=ax$与抛物线$y=x^2$所围成图形的面积为$S_1$，它们与直线$x=1$所围成的图形面积为$S_2$，并且$a<1$。

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$。证明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$。

某酒厂有一批新酿的好酒，若现在（假定$t=0$）售出，总收入为$R_0$元；若窖藏到$t$年末按陈酒价格出售，总收入为$R=R_0{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。银行年利率为$r$，并以连续复利计息。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=1$。试证存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得${\mathrm{e}}^{\eta -\xi }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]=1$。

在经济学中，称函数$Q(x)=A[\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}{]}^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数$\overline{Q}=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }$为 Cobb–Douglas 生产函数（简称 C–D 生产函数）。试证明：当$x\to 0$时，固定替代弹性生产函数变为 C–D 生产函数，即有$\underset{x\to 0}{\lim }Q(x)=\overline{Q}$。

从点$P_1(1,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线$y=x^2$于点$Q_1(1,1)$；再从$Q_1$作这条抛物线的切线与$x$轴交于$P_2$，然后又从$P_2$作$x$轴的垂线，交抛物线于$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列的点$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\dots ;P_n,Q_n;\dots$。其中$n\ge 1$为自然数，而$\overline{M_1{M}_2}$表示点$M_1$与$M_2$之间的距离。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)\mathrm{d}t$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{a}{x}-(\frac{1}{x^2}-a^2)\ln (1+ax)]$（$a\ne 0$）。

设$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，$y=y(x)$和$z=z(x)$分别由方程${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$和${\mathrm{e}}^x-xz=0$所确定，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

一商家销售某种商品的价格满足关系$p=7-0.2x$（万元/吨），$x$为销售量（单位：吨），商品的成本函数$C=3x+1$（万元）。若每销售一吨商品，政府要征税$t$（万元）。

假设某种商品的需求量$Q$是单价$p$（单位：元）的函数：$Q=12000-80p$；商品的总成本$C$是需求量$Q$的函数：$C=25000+50Q$；每单位商品需要纳税$2$元。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续、单调不减且$f(0)\ge 0$。定义$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t,& x>0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$n>0$。

就$k$的不同取值情况，确定方程$x-\frac{\pi }{2}\sin x=k$在开区间$(0,\frac{\pi }{2})$内根的个数，并证明结论。

设$y=y(x)$由方程组$\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ 2y-t{y}^2+{\mathrm{e}}^t=5\end{array}$所确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-2x^2,& x<-1\\ x^3,& -1\le x\le 2\\ 12x-16,& x>2\end{array}$。

设某种商品的单价为$p$时，售出的商品数量$Q=\frac{a}{p+b}-c$，其中$a,b,c$均为正数，且$a>bc$。完成下列各问：

设$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且满足条件$|f(x)|\le a,|f^{\prime \prime }(x)|\le b$，其中$a,b$都是非负常数，$c$是$(0,1)$内任一点，证明$|f^{\prime }(c)|\le 2a+\frac{b}{2}$。