真题库

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$g(x)$有二阶连续导数，且$g(0)=1,g^{\prime }(0)=-1$。完成下列各问：

求函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$在$x=0$点处带拉格朗日型余项的$n$阶泰勒展开式。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上可微，且满足条件$f(1)=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}xf(x)\mathrm{d}x$。试证：存在$\xi \in (0,1)$使$f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶导数，且$f(a)=f(b)=0,f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)>0$。

设$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{t}f(u^2)\mathrm{d}u\\ y=[f(t^2){]}^2\end{array}$，其中$f(u)$具有二阶导数，且$f(u)\ne 0$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(b)$。求证：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。证明：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )$。

设函数$y=y(x)$由方程$x{\mathrm{e}}^{f(y)}={\mathrm{e}}^y$确定，其中$f$具有二阶导数，且$f^{\prime }\ne 1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，证明$f(x)\ge x$。

设某产品的需求函数为$Q=Q(P)$，收益函数为$R=PQ$，其中$P$为产品价格，$Q$为需求量（产品的产量），$Q(P)$为单调减函数。当价格为$P_0$、对应产量为$Q_0$时，边际收益$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q}{|}_{Q=Q_0}=a>0$，收益对价格的边际效应$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}P}{|}_{P=P_0}=c<0$，需求对价格的弹性$E_P=b>1$。

设曲线$L$的方程为$y=f(x)$，且$y^{\prime \prime }>0$，又$MT,MP$分别为该曲线在点$M(x_0,y_0)$处的切线和法线。已知线段$MP$的长度为$\frac{[1+(y_0^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{y_0^{\prime \prime }}$（其中$y_0^{\prime }=y^{\prime }(x_0),y_0^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }(x_0)$），试推导出点$P(\xi ,\eta )$的坐标表达式。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^2}(1-\cos x),& x<0\\ 1,& x=0\\ \frac{1}{x}{\int }_0^x\cos t^2\mathrm{d}t,& x>0\end{array}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\arctan \frac{1}{x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，试讨论$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

假设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上存在二阶导数，并且$g^{\prime \prime }(x)\ne 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$。试证：

设函数$f(x)={\int }_0^{x^2}(2-t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$。

设$y=f(x+y)$，其中$f$具有二阶导数，且其一阶导数不等于$1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }[x-x^2\ln (1+\frac{1}{x})]$。

设当$x>0$时，方程$kx+\frac{1}{x^2}=1$有且仅有一个解，求$k$的取值范围。

假设由自动线加工的某种零件的内径$X$（毫米）服从正态分布$N(\mu ,1)$，内径小于$10$或大于$12$的为不合格品，其余为合格品。已知销售一个零件的利润$T$（元）与内径$X$的关系为$T=\{\begin{array}{ll}-1,& X<10\\ 20,& 10\le X\le 12\\ -5,& X>12\end{array}$。问平均内径$\mu$取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$。证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。