真题库

已知$M(x_0,y_0)$是曲线$y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$的拐点。$O$为原点，$D$是第一象限中以该曲线在$x\ge x_0$的部分、线段$OM$及$x$轴正半轴为边界的无界区域。求$D$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积。

设可导函数$f(x)$严格单调递增，且${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，记$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。证明：$f^{\prime }(x)$在该区间内严格单调增加的充分必要条件是，对任意$x_1<x_2<x_3$，有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$。

设$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-{\mathrm{e}}^{2\sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$。证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^{\prime }(0)$。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

设$t>0$，平面区域$D$由曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-2x}$、直线$x=t,x=2t$及$x$轴围成，其面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

设曲线$y=y(x)(x>0)$经过点$(1,2)$，该曲线上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

设曲线$L:y=y(x)(x>\mathrm{e})$经过点$({\mathrm{e}}^2,0)$，且$L$上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

已知可导函数$y=y(x)$满足$a{\mathrm{e}}^x+y^2+y-\ln (1+x)\cos y+b=0$，且$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有二阶连续导数。

已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{e}}^{x^2})-3f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=2$，求$f^{\prime }(1)$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有二阶连续导数。证明：$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$的充分必要条件是对任意不同的实数$a,b$，都有$f(\frac{a+b}{2})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$成立。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

已知函数$f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$，求曲线$y=f(x)$的凹凸区间及渐近线。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\sin x})$。

函数$y=y(x)(x>0)$满足微分方程$x{y}^{\prime }-6y=-6$，且$y(\sqrt{3})=10$。

已知$a,b$为常数，若$(1+\frac{1}{n}{)}^n-\mathrm{e}$与$\frac{b}{n^a}$在$n\to \infty$时是等价无穷小，求$a,b$。

求曲线$y=\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}(x>0)$的斜渐近线方程。

设函数$f(x)={\int }_1^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$。