真题库

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

直线$L$过$A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$z$轴旋转得曲面$\Sigma$，与$z=0,z=2$围成立体$\Omega$。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

设直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$，平面$\Pi :x-y+2z-1=0$。完成下列各问：

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+c{x}_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3-6x_2{x}_3$的秩为$2$。完成下列各问：

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

求${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$是由曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周而成的曲面与平面$z=4$所围成的立体。

求椭球面$x^2+2y^2+3z^2=21$上某点$M$处的切平面$\Pi$的方程，使平面$\Pi$过已知直线$l:\frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2z-1}{-2}$。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }x(8y+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲线$\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}\\ x=0\end{array}$（$1\le y\le 3$）绕$y$轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与$y$轴正向的夹角恒大于$\frac{\pi }{2}$。