真题库

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

设$x\ge -1$，求${\int }_{-1}^x(1-|t|)\mathrm{d}t$。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有连续导数，且$m\le f(x)\le M$。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

求定积分${\int }_0^3\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}$。

考虑函数$y=\sin x$，$0\le x\le \frac{\pi }{2}$（如图）。

计算不定积分$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}$（其中$a$，$b$为不全为零的非负数）。

考虑函数$y=x^2$，$0\le x\le 1$（如图）。

在第一象限内，考虑曲线$y=-x^2+1$。

计算定积分${\int }_0^{1}x\arcsin x\mathrm{d}x$。

计算定积分${\int }_{\frac{1}{2}}^1{\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}\mathrm{d}x$。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}\mathrm{d}x$。

设$D$是曲线$y=\sin x+1$与三条直线$x=0$，$x=\pi$，$y=0$围成的曲边梯形。求$D$绕$x$轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V$。

求不定积分$\int \frac{x\mathrm{d}x}{x^4+2x^2+5}$。

计算定积分${\int }_{-2}^2(|x|+x){\mathrm{e}}^{-|x|}\mathrm{d}x$。