真题库

反常积分① ${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$，② ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$的敛散性为（　　）。

下列反常积分收敛的是（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{(x-1{)}^{\alpha -1}},& 1<x<\mathrm{e},\\ \frac{1}{x{\ln }^{\alpha +1}x},& x\ge \mathrm{e},\end{array}$，若反常积分${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛，则（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& 0\le x<\pi ,\\ 2,& \pi \le x\le 2\pi ,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设$I_k={\int }_0^{k\pi }{\mathrm{e}}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x(k=1,2,3)$，则有（　　）。

设$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin x\mathrm{d}x$，$J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot x\mathrm{d}x$，$K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos x\mathrm{d}x$，则$I,J,K$的大小关系是（　　）。

设$m,n$是正整数，则反常积分${\int }_0^1\frac{\sqrt[m]{{\ln }^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\mathrm{d}x$的收敛性（　　）。

使不等式${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t>\ln x$成立的$x$的范围是（　　）。

设函数$y=f(x)$在区间$[-1,3]$上的图形为，则函数$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$的图形为（　　）。

设函数$f$连续。若$F(u,v)={\iint }_{D_{uv}}\frac{f(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D_{uv}$为图中阴影部分，则$\frac{\partial F}{\partial u}=$（　　）。

设函数$f(x)={\int }_0^{x^2}\ln (2+t)\mathrm{d}t$，则$f^{\prime }(x)$的零点个数为（　　）。

如图，曲线段方程为$y=f(x)$，函数在区间$[0,a]$上有连续导数，则定积分${\int }_0^{a}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$等于（　　）。

如图，连续函数$y=f(x)$在区间$[-3,-2],[2,3]$上的图形分别是直径为$1$的上、下半圆周，在区间$[-2,0],[0,2]$上图形分别是直径为$2$的下、上半圆周。设$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则下列结论正确的是（　　）。

设$f(x)$是奇函数，除$x=0$外处处连续，$x=0$是其第一类间断点，则${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$是（　　）。

设函数$f(x)$与$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(x)\le g(x)$，且对任何$c\in (0,1)$，则（　　）。

设$F(x)$是连续函数$f(x)$的一个原函数，表示“$M$的充分必要条件是$N$”，则必有（　　）。

下列结论中正确的是（　　）。

设$f(x)$为连续函数，$F(t)={\int }_1^t\mathrm{d}y{\int }_y^{t}f(x)\mathrm{d}x$，则$F^{\prime }(2)$等于（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n}{)}^2(1+\frac{2}{n}{)}^2\cdots (1+\frac{n}{n}{)}^2}$等于（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。