真题库

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x$。

计算积分${\iint }_D\frac{y^3}{(1+x^2+y^4{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是第一象限中以曲线$y=\sqrt{x}$与$x$轴为边界的无界区域。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})$。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{\mathrm{e}}^t\mathrm{dt}}{\sqrt{x^3}}$。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。

设$D$是由曲线$y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$与$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\le t\le \frac{\pi }{2})$围成的平面区域。

设函数$f(x)$连续，且满足${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$，求$f(x)$。

已知$f(x)$在$[0,\frac{3\pi }{2}]$上连续，在$(0,\frac{3\pi }{2})$内是函数$\frac{\cos x}{2x-3\pi }$的一个原函数，且$f(0)=0$。

设$A>0$，$D$是由曲线段$y=A\sin x(0\le x\le \frac{\pi }{2})$及直线$y=0,x=\frac{\pi }{2}$所围成的平面区域。$V_1,V_2$分别表示$D$绕$x$轴与绕$y$轴旋转成旋转体的体积；若$V_1=V_2$，求$A$的值。

已知函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1),f(y,y)=(y+1{)}^2-(2-y)\ln y$，求曲线$f(x,y)=0$所围成的图形绕直线$y=-1$旋转所成的旋转体的体积。

设函数$f(x)=\frac{x}{1+x},x\in [0,1]$。定义函数列$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),\dots ,f_n(x)=f(f_{n-1}(x)),\dots$。设$S_n$是曲线$y=f_n(x)$、直线$x=1,y=0$所围平面图形的面积，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$。

设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)$单调增加，$0\le g(x)\le 1$。证明：

设$D$是由曲线$y=x^{\frac{1}{3}}$、直线$x=a(a>0)$及$x$轴所围成的平面图形，$V_x,V_y$分别是$D$绕$x$轴、$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。若$V_y=10V_x$，求$a$的值。

计算${\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，其中$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln (t+1)}{t}\mathrm{d}t$。

设曲线$L$的方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x(1\le x\le \mathrm{e})$。

过$(0,1)$作曲线$L:y=\ln x$的切线，切点为$A$；$L$与$x$轴交于$B$，区域$D$由$L$与直线$AB$围成。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

计算${\iint }_D{\mathrm{e}}^{x}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$以$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$及$y$轴为边界的无界区域。