真题库

设$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x$，$I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

设$a_n=\frac{3}{2}{\int }_0^{\frac{n}{n+1}}{x}^{n-1}\sqrt{1+x^n}\mathrm{d}x$，则极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$等于（　　）。

设函数$g(x)={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，其中$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(x^2+1),& 0\le x\le 1,\\ \frac{1}{3}(x-1),& 1<x\le 2.\end{array}$则$g(x)$在区间$(0,2)$内（　　）。

设$f(x)$是连续函数，$F(x)$是$f(x)$的原函数，则（　　）。

设$f(x)$连续，则$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)\mathrm{d}t=$（　　）。

设在区间$[a,b]$上$f(x)>0,f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)>0$，令$S_1={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,S_2=f(b)(b-a),S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$，则（　　）。

设$F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{\mathrm{e}}^{\sin t}\sin t\mathrm{d}t$，则$F(x)$（　　）。

设$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，$g(x)<f(x)<m$（$m$为常数）。由曲线$y=g(x),y=f(x),x=a,x=b$所围平面图形绕直线$y=m$旋转而成的旋转体体积为（　　）。

设$f(x)$有连续的导数，$f(0)=0,f^{\prime }(0)\ne 0,F(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t$，且当$x\to 0$时，$F^{\prime }(x)$与$x^k$是同阶无穷小，则$k$等于（　　）。

曲线$y=x(x-1)(2-x)$与$x$轴所围图形的面积可表示为（　　）。

下列广义积分发散的是（　　）。

设$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x$，$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{3}x+{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，$P={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(x^2{\sin }^{3}x-{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，则有（　　）。

设$f(x)$为连续函数，且$F(x)={\int }_{\frac{1}{x}}^{\ln x}f(t)\mathrm{d}t$，则$F^{\prime }(x)$等于（　　）。

双纽线$(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$所围成的区域面积可用定积分表示为（　　）。

已知$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x<1,\\ 1,& 1\le x\le 2,\end{array}$设$F(x)={\int }_1^{x}f(t)\mathrm{d}t$（$0\le x\le 2$），则$F(x)$为（　　）。

设$F(x)=\frac{x^2}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，其中$f(x)$为连续函数，则$\underset{x\to a}{\lim }F(x)$等于（　　）。

若$f(x)$的导函数是$\sin x$，且$f(0)=-1$，则$f(x)$有一个原函数为（　　）。

设$f(x)$连续，$F(x)={\int }_0^{x^2}f(t^2)\mathrm{d}t$，则$F^{\prime }(x)$等于（　　）。

如图，$x$轴上有一线密度为常数$\mu$、长度为$l$的细杆，有一质量为$m$的质点到杆右端的距离为$a$，已知引力系数为$k$，则质点和细杆之间引力的大小为（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1<x\le 2\end{array}$，记$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，$0\le x\le 2$，则（　　）。