真题库

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

求$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$。

一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$与$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$连接而成。长度单位为$\text{m}$，重力加速度为$g\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$，水的密度为$10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

已知函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且$f(1,y)=0$，$f(x,1)=0$，${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算二重积分$I={\iint }_{D}xy\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

一个高为$l$的柱体形贮油罐，底面是长轴为$2a$、短轴为$2b$的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为$\frac{3}{2}b$时（如图），计算油的质量。长度单位为$\text{m}$，质量单位为$\text{kg}$，油的密度为常数$\rho \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内存在二阶导数，且$2f(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=f(2)+f(3)$

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

设$a_n$为曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}(n=1,2,\dots )$所围成区域的面积。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

计算不定积分$\int \ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})\mathrm{d}x(x>0)$。

计算${\int }_0^1\frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$是连续函数。

设$f(x)$是周期为$2$的连续函数。

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。

设$f(x)$是区间$[0,\frac{\pi }{4}]$上的单调、可导函数，且满足${\int }_0^{f(x)}{f}^{-1}(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}t\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t$，其中$f^{-1}$是$f$的反函数，求$f(x)$。

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。