真题库

求$\int \frac{\arcsin {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$。

设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上的导数连续，且$f(0)=0,f^{\prime }(x)\ge 0,g^{\prime }(x)\ge 0$。证明：对任何$a\in [0,1]$，有${\int }_0^{a}g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\ge f(a)g(1)$。

设函数$f(x)$连续，且$f(0)\ne 0$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t}$。

如图，曲线$C$的方程为$y=f(x)$，点$(3,2)$是它的一个拐点，直线$l_1,l_2$分别是曲线$C$在点$(0,0)$与$(3,2)$处的切线，其交点为$(2,4)$。设函数$f(x)$具有三阶连续导数，计算定积分${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x),\mathrm{d}x$。

如图，$C_1,C_2$分别是$y=\frac{1}{2}(1+{\mathrm{e}}^x)$和$y={\mathrm{e}}^x$的图象，过点$(0,1)$的曲线$C_3$在第一象限内是一连续严格单调增函数的图象，其反函数$x=\varphi (y)$在$[1,+\infty )$上连续且严格递增，并满足$\varphi (1)=0$以及$0<\varphi (y)<\ln y$（$y>1$）。过$C_2$上横坐标大于零的任一点$M(x,y)$分别作垂直于$x$轴和$y$轴的直线$l_x,l_y$。记$C_1,C_2,l_x$所围图形的面积为$S_1(x)$；$C_2,C_3,l_y$所围图形的面积为$S_2(y)$。如果总有$S_1(x)=S_2(y)$，求曲线$C_3$的方程$x=\varphi (y)$。

曲线$y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$与直线$x=0$，$x=t$（$t>0$）及$y=0$围成一曲边梯形。该曲边梯形绕$x$轴旋转一周得一旋转体，其体积为$V(t)$，侧面积为$S(t)$，在$x=t$处的底面积为$F(t)$。

设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，且满足${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b),{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t.$证明：${\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg(x)\mathrm{d}x$。

设$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0,\\ {\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,\end{array}$，$S$表示夹在$x$轴与曲线$y=F(x)$之间的面积。对任何$t>0$，$S_1(t)$表示矩形$-t\le x\le t,0\le y\le F(t)$的面积。求：

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

计算不定积分$\int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$。

过坐标原点作曲线$y=\ln x$的切线，该切线与曲线$y=\ln x$及$x$轴围成平面图形$D$

设某商品从时刻$0$到时刻$t$的销售量为$x(t)=kt$，$t\in [0,T],k>0$。欲在$T$时将数量为$A$的该商品销售完，试求：

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为$k$，$k>0$）。汽锤第一次击打将桩打进地下$a$米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数$r(0<r<1)$。问

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线$l$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少$mathrmm$？

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u}{x(1-\cos x)}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{3}{2}{x}^2,& -1\le x<0\\ \frac{x{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2},& 0\le x\le 1\end{array}$，求函数$F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$的表达式。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)>0$。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点$\xi \in [a,b]$，使${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。