真题库

设实函数$f$在$(0,1)$上定义，且对任意$0<t<\frac{\pi }{2}$，有$f({\sin }^{2}t)=\frac{t}{\sin t}$。求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x$，其中$0<x<1$。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且其反函数为$g(x)$。若${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=x^2{\mathrm{e}}^x$，求$f(x)$。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

求$\int \frac{\arctan {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x$。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$。

已知抛物线$y=p{x}^2+qx(p<0,q>0)$在第一象限与直线$x+y=5$相切，且此抛物线与$x$轴所围成的平面图形的面积为$S$。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续，$f(1)=\frac{5}{2}$，且对所有$x,t\in (0,+\infty )$，满足条件${\int }_1^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_1^{t}f(u)\mathrm{d}u$。求$f(x)$。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

设$f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$，计算$\int f(x)\mathrm{d}x$。

设$xOy$平面上有正方形$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$及直线$l:x+y=t(t\ge 0)$。若$S(t)$表示正方形$D$位于直线$l$左下方部分的面积，试求${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t(x\ge 0)$。

计算$I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{1+x}+{\mathrm{e}}^{3-x}}$。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

设函数$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$。

计算${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x$。

为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。已知井深$30\mathrm{m}$，抓斗自重$400\mathrm{N}$，缆绳每米重$50\mathrm{N}$，抓斗抓起的污泥重$2000\mathrm{N}$，提升速度为$3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$；提升过程中，污泥以$20\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s}}$的速度从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？说明：$1\mathrm{N}\times 1\mathrm{m}=1\mathrm{J}$；抓斗高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

设函数$f(x)$连续，且${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\arctan x^2$。已知$f(1)=1$，求${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$的值。