真题库

已知$f(x)$连续，${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=1-\cos x$，求${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x$的值。

设有曲线$y=\sqrt{x-1}$，过原点作其切线，求由此曲线、切线及$x$轴围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得旋转体的表面积。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{\sin \frac{\pi }{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+\frac{1}{n}})$。

设有两条抛物线$y=n{x}^2+\frac{1}{n}$和$y=(n+1)x^2+\frac{1}{n+1}$，记它们交点横坐标的绝对值为$a_n$。完成下列各问：

计算积分${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x-x^2|}}$。

设直线$y=ax$与抛物线$y=x^2$所围成图形的面积为$S_1$，它们与直线$x=1$所围成的图形面积为$S_2$，并且$a<1$。

设函数$f(t)$在$[0,+\infty )$上连续，且满足方程$f(t)={\mathrm{e}}^{4\pi t^2}+{\iint }_{x^2+y^2\le 4t^2}f(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，求$f(t)$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)\mathrm{d}t$。

设$f(x)$连续，$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$（$A$为常数）。

计算$\int {\mathrm{e}}^{2x}(\tan x+1{)}^2\mathrm{d}x$。

由曲线$y=x^2-2x,y=0,x=1,x=3$围成一个平面图形。

已知函数$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$。设$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，完成下列各问：

计算${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-2x}}\mathrm{d}x$。

设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为$2a,2b$，用过此柱体底面的短轴与底面成$\alpha$角（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）的平面截此柱体，得一楔形体（见图）。求此楔形体的体积$V$。

计算${\int }_0^{+\infty }\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$为连续函数，$a$为正常数。

已知一抛物线通过$x$轴上的两点$A(1,0),B(3,0)$，且其轴平行于$y$轴。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。

计算不定积分$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x$。