真题库

求心形线$r=a(1+\cos \theta )$的全长，其中$a>0$是常数。

设$f(x^2-1)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$，且$f[\varphi (x)]=\ln x$，求$\int \varphi (x)\mathrm{d}x$。

设单位质点在水平面内作直线运动，以初始运动方向为正方向，初速度$v(0)=v_0>0$。质点所受水平方向的力只有阻力，阻力方向与速度相反，大小与速率成正比，比例常数为$1$，时间$t\ge 0$。

设$f(x)$、$g(x)$在区间$[-a,a]$（$a>0$）上连续，$g(x)$为偶函数，且$f(x)+f(-x)=A$（$A$为常数）。

设$f(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}\mathrm{d}t$，求${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

已知连续函数$f(x)$满足$f(x)={\int }_0^{3x}f(\frac{t}{3})\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{2x}$，求$f(x)$。

求摆线$\{\begin{array}{l}x=1-\cos t\\ y=t-\sin t\end{array}$一拱（$0\le t\le 2\pi$）的弧长。

求不定积分$\int (\arcsin x{)}^2\mathrm{d}x$。

如图，设曲线方程为$y=x^2+\frac{1}{2}$，梯形$OABC$的面积为$D$，曲边梯形$OABC$的面积为$D_1$，点$A$的坐标为$(a,0)$（$a>0$）。证明$\frac{D}{D_1}<\frac{3}{2}$。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}$。

设$\frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，求$\int x^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}$。

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

设函数$y=y(x)$满足条件$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4\end{array}$，求广义积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$。证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。

求曲线$y=3-|x^2-1|$与$x$轴围成的封闭图形绕直线$y=3$旋转所得的旋转体体积。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

设$f(x)$在$[0,1]$上连续且递减。证明：当$0<\lambda <1$时，${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x\ge \lambda {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

计算${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$。