真题库

求不定积分$I=\int \frac{x^2}{1+x^2}\arctan x\mathrm{d}x$。

计算${\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{x(1+\sqrt{x})}$。

求定积分$I={\int }_{-1}^1(2x+|x|+1{)}^2\mathrm{d}x$。

计算反常积分${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{x^2-2x}}$。

求$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$。

曲线$L_1:y=1-x^2$（$0\le x\le 1$）、$x$轴和$y$轴所围区域被曲线$L_2:y=a{x}^2$分为面积相等的两部分，其中$a$是大于零的常数，试确定$a$的值。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。

设$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$，其中$x>0$，求$f(x)+f(\frac{1}{x})$。

求${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{(2-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

求不定积分$\int \frac{x{\cos }^4\frac{x}{2}}{{\sin }^{3}x}\mathrm{d}x$。

计算$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

求不定积分$\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x$。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1\le x\le 2\end{array}$，计算下列各项。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}$。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\le 0$，记$F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，证明在$(a,b)$内，$F^{\prime }(x)\le 0$。

设抛物线$y=a{x}^2+bx+c$过原点，当$0\le x\le 1$时$y\ge 0$，又已知该抛物线与$x$轴及直线$x=1$所围图形的面积为$\frac{1}{3}$，试确定$a,b,c$，使此图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体的体积$V$最小。

已知$f(2)=\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(2)=0$及${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$，求${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x$。