真题库

$t$时刻某证券交易单价为$p(t)$，某机构持有份额为$q(t)$。若该机构在$t\in [0,T]$内持续购入，则平均购入价格为（　　）。

线密度为 1 的细直棒端点为$(-1,0)$、$(1,0)$，质量为$m$的质点位于$(0,1)$，$G$为引力常量，则细棒对质点的引力大小为（　　）。

单位质点$P$、$Q$分别位于$(0,0),(0,1)$，$P$沿$x$轴正向移动。记$G$为引力常量，则$P$移动到$(l,0)$时克服$Q$的引力所做的功为（　　）。

若微分方程$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$的任一解$y(x)$都使反常积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$收敛，则$a$的取值范围为（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty )$上可导，则（　　）。

设$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|\mathrm{d}x$，其中$k$为整数，则$I$的值（　　）。

设非负函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续。给出命题：① 若${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；② 若存在$p>1$使$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$存在，则该反常积分收敛；③ 若该反常积分收敛，则存在$p>1$使上述极限存在。正确命题个数为（　　）。

若函数$f(a)={\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^{a+1}}\mathrm{d}x$在$a=a_0$处取得最小值，则$a_0=$（　　）。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x\le 0\\ x\cos x+\cos x,& x>0\end{array}$的一个原函数为（　　）。

设$p$为常数。若反常积分${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}\mathrm{d}x$收敛，则$p$的取值范围是（　　）。

若$I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x,I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x,I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$（　　）。

${\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=$（　　）。

下列反常积分发散的是（　　）。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，且${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，则（　　）。

设$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}\mathrm{d}x$，$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$，$K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})\mathrm{d}x$，则（　　）。

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方$10\mathrm{m}$处，图中实线表示甲的速度曲线$v=v_1(t)$（单位：m/s），虚线表示乙的速度$v=v_2(t)$，三块阴影部分面积的数值依次为 10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为$t_0$（单位：s），则（　　）。

设二阶可导函数$f(x)$满足$f(1)=f(-1)=1$，$f(0)=-1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，则（　　）。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(x-1),& x<1,\\ \ln x,& x\ge 1,\end{array}$，则$f(x)$的一个原函数是（　　）。

若反常积分${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}\mathrm{d}x$收敛，则（　　）。