真题库

已知$g(x)$连续，设$f(x)={\int }_0^{x^2}g(xt)\mathrm{d}t$。求$f^{\prime }(x)$，并判断$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

已知$M(x_0,y_0)$是曲线$y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$的拐点。$O$为原点，$D$是第一象限中以该曲线在$x\ge x_0$的部分、线段$OM$及$x$轴正半轴为边界的无界区域。求$D$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积。

设可导函数$f(x)$严格单调递增，且${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，记$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

计算${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设$t>0$，平面区域$D$由曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-2x}$、直线$x=t,x=2t$及$x$轴围成，其面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

已知平面区域$D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

设函数$f(x)$满足$\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{6}{x}^2-x+C$，$L$为曲线$y=f(x)(4\le x\le 9)$。

设函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty )$且满足$2f(x)+x^{2}f(\frac{1}{x})=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$。

设函数$y=f(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$。

已知函数$f(x)$连续且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，$g(x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$。

求不定积分$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$。

设$a_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x(n=0,1,2,\cdots )$。

设$n$是正整数，记$S_n$为曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(0\le x\le n\pi )$与$x$轴所围成图形的面积。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

求曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(x\ge 0)$与$x$轴之间图形的面积。