真题库

设$P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)$均连续，$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x\ge 0,y\ge 0)$的上侧，则${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x=$（　　）。

设函数$Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$，如果对于上半平面$(y>0)$内任意有向光滑封闭曲线$C$都有${\oint }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$，那么函数$P(x,y)$可取为（　　）。

设$L_1:x^2+y^2=1,L_2:x^2+y^2=2,L_3:x^2+2y^2=2,L_4:2x^2+y^2=2$为逆时针曲线，$I_i={\oint }_{L_i}(y+\frac{y^3}{6})\mathrm{d}x+(2x-\frac{x^3}{3})\mathrm{d}y$，则$\max \{I_1,I_2,I_3,I_4\}=$（　　）。

设曲线$L:f(x,y)=1$（$f(x,y)$具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点$M$和第Ⅳ象限内的点$N$，$\Gamma$为$L$上从点$M$到点$N$的一段弧，则下列积分小于零的是（　　）。

设$S:x^2+y^2+z^2=a^2(z\ge 0)$，$S_1$为$S$在第一卦限中的部分，则有（　　）。

已知$\frac{(x+ay)\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{(x+y{)}^2}$为某函数的全微分，则$a$等于（　　）。

设曲线积分${\int }_L[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y\mathrm{d}x-f(x)\cos y\mathrm{d}y$与路径无关，其中$f(x)$具有一阶连续导数，且$f(0)=0$，则$f(x)$等于（　　）。