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设$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有三阶连续导数，且存在可微函数$F(x,y)$使$\mathrm{d}F=\frac{f(xy)}{x^{2}y}\mathrm{d}x+\frac{f^{\prime \prime }(xy)}{x{y}^2}\mathrm{d}y(xy>0)$。

有向曲线$L$为椭圆$x^2+3y^2=1$上沿逆时针方向从$A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$到$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$的部分，计算${\int }_L({\mathrm{e}}^{x^2}\sin x-2xy)\mathrm{d}x+(6x-x^2-y{\cos }^{4}y)\mathrm{d}y$。

设曲面$\Sigma$由直线$x=0,y=0$绕直线$x=t,y=t,z=t$旋转一周得到，${\Sigma }_1$为其介于平面$x+y+z=0$与$x+y+z=1$之间部分的外侧。计算${\iint }_{{\Sigma }_1}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$。求$f(x,y)$，并求其极值。

已知有向曲线$L$为球面$x^2+y^2+z^2=2x$与平面$2x-z-1=0$的交线，从$z$轴正向往负向看去为逆时针方向，计算${\oint }_L(6xyz-y{z}^2)\mathrm{d}x+2x^{2}z\mathrm{d}y+xyz\mathrm{d}z$。

设空间有界区域$\Omega$由柱面$x^2+y^2=1$与平面$z=0,x+z=1$围成，$\Sigma$为$\Omega$边界的外侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+xz\cos y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3yz\sin x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知曲线$L$是曲面$\Sigma :4x^2+y^2+z^2=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$的边界，曲面$\Sigma$方向朝上，曲线$L$的方向与曲面方向符合右手法则，计算$I={\oint }_L(y{z}^2-\cos z)\mathrm{d}x+2x{z}^2\mathrm{d}y+(2xyz+x\sin z)\mathrm{d}z$。

设$D\subset {\mathbb{R}}^2$是有界单连通闭区域，$I(D)={\iint }_D(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$取得最大值的积分区域为$D_1$。

设$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}(1\le x^2+y^2\le 4)$的下侧，$f(x)$是连续函数，计算$I={\iint }_{\Sigma }[xf(xy)+2x-y]\mathrm{d}y\mathrm{d}z+[yf(xy)+2y+x]\mathrm{d}z\mathrm{d}x+[zf(xy)+z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

计算曲线积分$I={\int }_L\frac{4x-y}{4x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x+y}{4x^2+y^2}\mathrm{d}y$，其中$L$是$x^2+y^2=2$，方向为逆时针方向。

设$a,b$为实数，函数$z=2+a{x}^2+b{y}^2$在点$(3,4)$处的方向导数中，沿方向$l=-3\mathbf{i}-4\mathbf{j}$的方向导数最大，最大值为$10$。

设$\Omega$是由锥面$x^2+(y-z{)}^2=(1-z{)}^2(0\le z\le 1)$与平面$z=0$围成的锥体，求$\Omega$的形心坐标。

设$\Sigma$是曲面$x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$的前侧，计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

设有界区域$\Omega$由平面$2x+y+2z=2$与三个坐标平面围成，$\Sigma$为$\Omega$整个表面的外侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x^2+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2},\\ z=x,\end{array}$起点为$A(0,\sqrt{2},0)$，终点为$B(0,-\sqrt{2},0)$，计算曲线积分${\int }_L(y+z)\mathrm{d}x+(z^2-x^2+y)\mathrm{d}y+x^2{y}^2\mathrm{d}z$。

设$\Sigma$为曲面$z=x^2+y^2(z\le 1)$的上侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x-1{)}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1{)}^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

直线$L$过$A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$z$轴旋转得曲面$\Sigma$，与$z=0,z=2$围成立体$\Omega$。

已知$L$是第一象限中从$(0,0)$沿$x^2+y^2=2x$到$(2,0)$，再沿$x^2+y^2=4$到$(0,2)$的曲线段，计算$I={\int }_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x+(x^3+x-2y)\mathrm{d}y$。