真题库

设某商品的最大需求量为$1200$件，该商品的需求函数为$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价（万元）。

设函数$f(x)$连续，且满足${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$，求$f(x)$。

设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零。若对任意$x_0\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x=x_0$及$x$轴所围区域的面积恒为4，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式。

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为$120{}^{\circ }\mathrm{C}$的物体在$20{}^{\circ }\mathrm{C}$的恒温介质中冷却，$30\min$后该物体降至$30{}^{\circ }\mathrm{C}$。若要将该物体的温度继续降至$21{}^{\circ }\mathrm{C}$，还需冷却多长时间？

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^{2x}$。若$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

已知函数$y=y(x)$满足微分方程$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$，且$y(2)=0$，求$y(x)$的极大值和极小值。

设函数$f(u)$具有连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\cos y\frac{\partial z}{\partial x}-\sin y\frac{\partial z}{\partial y}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^x$。若$f(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

设$a_0=3,a_1=1,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$。

设$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

设函数$y(x)$具有二阶导数，且曲线$l:y=y(x)$与直线$y=x$相切于原点，记$\alpha$为曲线$l$在点$(x,y)$处切线的倾角，若$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，求$y(x)$的表达式。

设$f(x)$在$[0,1]$有连续导数，$f(0)=1$，且${\iint }_{D_t}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_t}f(t)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D_t=\{(x,y)\mid 0\le y\le t-x,0\le x\le t\}(0<t\le 1)$，求$f(x)$。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2x{\mathrm{e}}^x$的通解。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

设$y=y(x)$是区间$(-\pi ,\pi )$内过点$(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}})$的光滑曲线。当$-\pi <x<0$时，曲线上任一点处的法线都过原点；当$0\le x<\pi$时，函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }+y+x=0$。求$y(x)$的表达式。

设曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是可导函数，且$f(x)>0$。已知曲线$y=f(x)$与直线$y=0,x=1$及$x=t(t>1)$所围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的$\pi t$倍，求该曲线方程。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上具有连续导数的单调增加函数，且$f(0)=1$。对于任意的$t\in [0,+\infty )$，直线$x=0,x=t$、曲线$y=f(x)$以及$x$轴所围成曲边梯形绕$x$轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求$f(x)$的表达式。

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。