真题库

求微分方程$y^{\prime \prime }(x+y^{\prime 2})=y^{\prime }$满足初始条件$y(1)=y^{\prime }(1)=1$的特解。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。

设函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，且$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$满足等式$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$。

用变量代换$x=\cos t(0<t<\pi )$化简微分方程$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$，并求其满足$y{|}_{x=0}=1,y^{\prime }{|}_{x=0}=2$的特解。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为$9000\mathrm{kg}$的飞机，着陆时的水平速度为$700\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为$k=6.0\times 10^6$）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时。）

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

设$y=f(x)$是第一象限内连接点$A(0,1),B(1,0)$的一段连续曲线，$M(x,y)$为该曲线上任意一点，点$C$为$M$在$x$轴上的投影，$O$为坐标原点。若梯形$OCMA$的面积与曲边三角形$CBM$的面积之和为$\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$，求$f(x)$的表达式。

设$F(x)=f(x)g(x)$，其中$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=f(x),f(0)=0$，且$f(x)+g(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

设函数$y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots +\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积$S$成正比，比例常数$K>0$。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为$r_0$的雪堆在开始融化的$3$小时内融化了其体积的$\frac{7}{8}$，问雪堆全部融化需要多少小时？

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

已知$f_n(x)$满足$f_n^{\prime }(x)=f_n(x)+x^{n-1}{\mathrm{e}}^x(n\text{ 为正整数})$且$f_n(1)=\frac{\mathrm{e}}{n}$，求函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$的和。

设函数$f(x),g(x)$满足$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^x-f(x)$，且$f(0)=0,g(0)=2$，求${\int }_0^{\pi }[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}]\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续，$f(1)=\frac{5}{2}$，且对所有$x,t\in (0,+\infty )$，满足条件${\int }_1^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_1^{t}f(u)\mathrm{d}u$。求$f(x)$。