真题库

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点$P(x,y)$处的曲率等于此曲线在该点的法线段$PQ$长度的倒数，其中$Q$是法线与$x$轴的交点，且曲线在点$(1,1)$处的切线与$x$轴平行。

求微分方程$x{y}^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$满足$y(1)=1$的特解。

求微分方程$xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+y^2$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=2\mathrm{e}$的特解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y=x+\cos x$的通解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{ax}$的通解，其中$a$为实数。

求微分方程$y^{\prime }+y\cos x=(\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}$的通解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{-2x}$的通解（一般解）。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=1$的特解。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=0$的特解。

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=2{\mathrm{e}}^{-x}$的通解。

求微分方程$x{y}^{\prime }+(1-x)y={\mathrm{e}}^{2x}$（$0<x<+\infty$）满足$y(1)=0$的解。

求微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$的通解（一般解）。

已知某商品的需求量$D$和供给量$S$都是价格$p$的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2},S=S(p)=bp$，其中$a>0$和$b>0$为常数；价格$p$是时间$t$的函数且满足方程$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=k[D(p)-S(p)]$（$k$为正的常数）。假设当$t=0$时价格为$1$。

设函数$y=y(x)$满足微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2{\mathrm{e}}^x$，且其图形在点$(0,1)$处的切线与曲线$y=x^2-x+1$在该点的切线重合，求函数$y=y(x)$。

求微分方程$y^{\prime \prime \prime }+6y^{\prime \prime }+(9+a^2)y^{\prime }=1$的通解（一般解），其中常数$a>0$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$的通解。

已知某商品的需求量$x$对价格$p$的弹性为$\eta =-3p^3$，而市场对该商品的最大需求量为$1$（万件），求需求函数。

求微分方程$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x-y$满足条件$y{|}_{x=\sqrt{2}}=0$的解。