真题库

设$y_1(x),y_2(x)$是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解。若$2\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-2\mu y_2$是对应齐次方程的解，则（　　）。

若微分方程$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$的任一解$y(x)$都使反常积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$收敛，则$a$的取值范围为（　　）。

若微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的解在$(-\infty ,+\infty )$上有界，则（　　）。

已知微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的通解为$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x$，则$a,b,c$依次为（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y={\mathrm{e}}^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y^{\ast }=$（　　）。

若$y_1=(1+x^2{)}^2-\sqrt{1+x^2},y_2=(1+x^2{)}^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个解，则$q(x)=$（　　）。

设$y=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+(x-\frac{1}{3}){\mathrm{e}}^x$是二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的一个特解，则（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y={\mathrm{e}}^{\lambda x}+{\mathrm{e}}^{-\lambda x}(\lambda >0)$的特解形式为（　　）。

设$y_1,y_2$是一阶线性非齐次微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda ,\mu$使$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）。

在下列微分方程中，以$y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$（$C_1,C_2,C_3$为任意常数）为通解的是（　　）。

设非齐次线性微分方程$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$有两个不同的解$y_1(x),y_2(x)$，$C$为任意常数，则该方程通解是（　　）。

函数$y=c_1{\mathrm{e}}^x+c_2{\mathrm{e}}^{-2x}+x{\mathrm{e}}^x$满足的一个微分方程是（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }+y=x^2+1+\sin x$的特解形式可设为（　　）。

已知$y=\frac{x}{\ln x}$是微分方程$y^{\prime }=\frac{y}{x}+\varphi (\frac{x}{y})$的解，则$\varphi (\frac{x}{y})$为（　　）。

具有特解$y_1={\mathrm{e}}^{-x},y_2=2x{\mathrm{e}}^{-x},y_3=3{\mathrm{e}}^x$的$3$阶常系数齐次线性微分方程是（　　）。

已知函数$y=y(x)$在任意点$x$处的增量$\Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha$，且当$\Delta x\to 0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，$y(0)=\pi$，则$y(1)$等于（　　）。

设曲线积分${\int }_L[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y\mathrm{d}x-f(x)\cos y\mathrm{d}y$与路径无关，其中$f(x)$具有一阶连续导数，且$f(0)=0$，则$f(x)$等于（　　）。

若连续函数$f(x)$满足关系式$f(x)={\int }_0^{2x}f(\frac{t}{2})\mathrm{d}t+\ln 2$，则$f(x)$等于（　　）。

设线性无关的函数$y_1$，$y_2$，$y_3$都是二阶非齐次线性方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$的解，$C_1$，$C_2$是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }-y={\mathrm{e}}^x+1$的一个特解应具有形式（式中$a,b$为常数）（　　）。