真题库

设$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有三阶连续导数，且存在可微函数$F(x,y)$使$\mathrm{d}F=\frac{f(xy)}{x^{2}y}\mathrm{d}x+\frac{f^{\prime \prime }(xy)}{x{y}^2}\mathrm{d}y(xy>0)$。

求微分方程$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-(y^{\prime }{)}^2=0(x>2)$满足$y(3)=\frac{1}{2},y^{\prime }(3)=-9$的解。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设曲线$y=y(x)(x>0)$经过点$(1,2)$，该曲线上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

设曲线$L:y=y(x)(x>\mathrm{e})$经过点$({\mathrm{e}}^2,0)$，且$L$上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

设$n$为正整数，$y=y_n(x)$是微分方程$x{y}^{\prime }-(n+1)y=0$满足条件$y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$的多项式解，定义在整个实数轴上。

函数$y=y(x)(x>0)$满足微分方程$x{y}^{\prime }-6y=-6$，且$y(\sqrt{3})=10$。

设函数$y=f(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续，在$(0,+\infty )$内可导，且对所有$x>0$有$f^{\prime }(x)>0$，曲线$y=f(x)(x\ge 0)$经过坐标原点$O$。$M$为其上横坐标大于零的任意一点，点$M$处的切线与$x$轴交于点$T$，又$MP$垂直$x$轴于点$P$。已知由曲线$y=f(x)$、直线$MP$以及$x$轴所围图形的面积与$△MTP$的面积之比恒为$3:2$，求满足上述条件的曲线方程。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

已知微分方程$y^{\prime }+y=f(x)$，其中$f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数。

设$a_0=1$，$a_1=0$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}(n{a}_n+a_{n-1})(n=1,2,\cdots )$，$S(x)$为幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数。

设$y(x)$是区间$(0,\frac{3}{2})$内的可导函数，且$y(1)=0$。点$P$是曲线$L:y=y(x)$上的任意一点。$L$在$P$处的切线与$y$轴相交于点$(0,Y_P)$，法线与$x$轴相交于点$(X_P,0)$。若$X_P=Y_P$，求$L$上点的坐标$(x,y)$满足的方程。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。

已知$y_1(x)={\mathrm{e}}^x,y_2(x)=u(x){\mathrm{e}}^x$是二阶微分方程$(2x-1)y^{\prime \prime }-(2x+1)y^{\prime }+2y=0$的解，若$u(-1)=\mathrm{e},u(0)=-1$，求$u(x)$，并写出该微分方程的通解。