真题库

设$f(x,y)$可微，且对任意$x,y$有$\frac{\partial f}{\partial x}>0,\frac{\partial f}{\partial y}<0$，则使$f(x_1,y_1)<f(x_2,y_2)$成立的充分条件是（　　）。

设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(x)>0$，$f^{\prime }(0)=0$，则函数$z=f(x)\ln f(y)$在点$(0,0)$处取得极小值的一个充分条件是（　　）。

设函数$f(x)$，$g(x)$均有二阶连续导数，满足$f(0)>0$，$g(0)<0$，且$f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=0$，则函数$z=f(x)g(y)$在点$(0,0)$处取得极小值的一个充分条件是（　　）。

设函数$z=z(x,y)$由方程$F(\frac{y}{x},\frac{z}{x})=0$确定，其中$F$为可微函数，且$F_2^{\prime }\ne 0$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$（　　）。

设函数$z=f(x,y)$的全微分为$\mathrm{d}z=x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y$，则点$(0,0)$（　　）。

设$f(x,y)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x^2+y^4}}$，则（　　）。

函数$f(x,y)=\arctan \frac{x}{y}$在点$(0,1)$处的梯度等于（　　）。

二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微的一个充分条件是（　　）。

设$f(x,y)$与$\phi (x,y)$均为可微函数，且${\phi }_y^{\prime }(x,y)\ne 0$。已知$(x_0,y_0)$是$f(x,y)$在约束条件$\phi (x,y)=0$下的一个极值点，下列选项正确的是（　　）。

设函数$u(x,y)=\varphi (x+y)+\varphi (x-y)+{\int }_{x-y}^{x+y}\psi (t)\mathrm{d}t$，其中函数$\varphi$具有二阶导数，$\psi$具有一阶导数，则必有（　　）。

设有三元方程$xy-z\ln y+{\mathrm{e}}^{xz}=1$，根据隐函数存在定理，存在点$(0,1,1)$的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）。

已知函数$f(x,y)$在点$(0,0)$的某个邻域内连续，且$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2{)}^2}=1$，则（　　）。

设可微函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$取得极小值，则正确的是（　　）。

考虑二元函数$f(x,y)$的下面四条性质：① $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续；②在该点的两个偏导数连续；③在该点可微；④在该点的两个偏导数存在。若用$P\Rightarrow Q$表示可由性质$P$推出$Q$，则有（　　）。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$附近有定义，且$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=3,\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$，则（　　）。

二元函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$在点$(0,0)$处（　　）。

二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处两个偏导数$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$、$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$存在是$f(x,y)$在该点连续的（　　）。

在曲线$x=t,y=-t^2,z=t^3$的所有切线中，与平面$x+2y+z=4$平行的切线（　　）。

已知曲面$z=4-x^2-y^2$上点$P$处的切平面平行于平面$2x+2y+z-1=0$，则点$P$的坐标是（　　）。