真题库

已知函数$f(x,y)$满足$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=2(y+1){\mathrm{e}}^x,f_x^{\prime }(x,0)=(x+1){\mathrm{e}}^x,f(0,y)=y^2+2y$，求$f(x,y)$的极值。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^{2x}$。若$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

设函数$f(u)$具有连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\cos y\frac{\partial z}{\partial x}-\sin y\frac{\partial z}{\partial y}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^x$。若$f(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

求$f(x,y)=(y+\frac{x^3}{3}){\mathrm{e}}^{x+y}$的极值。

求曲线$x^3-xy+y^3=1(x\ge 0,y\ge 0)$上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

求$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$的极值。

已知$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，$f(1,1)=2$是极值，$z=f[x+y,f(x,y)]$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}$。

设函数$z=f(xy,yg(x))$，其中函数$f$具有二阶连续偏导数，函数$g(x)$可导且在$x=1$处取得极值$g(1)=1$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}}$。

设$P$为椭球面$S:x^2+y^2+z^2-yz=1$上的动点，若$S$在点$P$处的切平面与$xOy$面垂直，求点$P$的轨迹$C$，并计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$是椭球面$S$位于曲线$C$上方的部分。

设函数$u=f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足等式$4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+12\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+5\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$。确定$a,b$的值，使等式在变换$\xi =x+ay,\eta =x+by$下化简为$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0$。

求函数$u=xy+2yz$在约束条件$x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值。

设$z=f(x+y,x-y,xy)$，其中$f$具有$2$阶连续偏导数。

求二元函数$f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$的极值。

设$z=z(x,y)$是由方程$x^2+y^2-z=\phi (x+y+z)$所确定的函数，其中$\phi$具有$2$阶导数且${\phi }^{\prime }\ne -1$。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+3z=5.\end{array}$求曲线$C$距离$xOy$面最远的点和最近的点。

求函数$u=x^2+y^2+z^2$在约束条件$z=x^2+y^2$和$x+y+z=4$下的最大和最小值。

求函数$f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$在区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$上的最大值和最小值。

设在上半平面$D=\{(x,y)\mid y>0\}$内，函数$f(x,y)$有连续偏导数，且对任意$t>0$都有$f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对$D$内的任意分段光滑的有向简单闭曲线$L$，都有${\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0$。

设函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，且$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$满足等式$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$。