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求$f(x,y)=x^2-y^2+2$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，并且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

设$f(u)$具有二阶连续导数，且$g(x,y)=f(\frac{y}{x})+yf(\frac{x}{y})$，求$x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设$z=z(x,y)$是由$x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$确定的函数，求$z=z(x,y)$的极值点和极值。

设$z=f(x^2-y^2,{\mathrm{e}}^{xy})$，其中$f$具有连续二阶偏导数，求$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}=1$，又$g(x,y)=f[xy,\frac{1}{2}(x^2-y^2)]$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设有一小山，取它的底面所在的平面为$xoy$坐标面，底面区域为$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\le 75\}$，高度函数为$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$。设$M(x_0,y_0)$为区域$D$上一点。

设函数$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，且$z=z(x,y)$由方程$x{\mathrm{e}}^x-y{\mathrm{e}}^y=z{\mathrm{e}}^z$所确定，求$\mathrm{d}u$。

设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1,\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(1,1)}=2,\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(1,1)}=3$，$\phi (x)=f(x,f(x,x))$。求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\phi }^3(x){|}_{x=1}$。

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

已知$z=u^v$，$u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$，$v=\arctan \frac{y}{x}$，求$\mathrm{d}z$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f$具有二阶连续偏导数，$g$具有二阶连续导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设生产某种产品必须投入两种要素，$x_1,x_2$分别为两要素的投入量，$Q$为产出量。若生产函数为$Q=2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }$，其中$\alpha ,\beta$为正常数，且$\alpha +\beta =1$。假设两种要素的价格分别为$p_1,p_2$，当产出量为$12$时，求使投入总费用最小的两要素投入量。

设$y=y(x),z=z(x)$是由方程$z=xf(x+y)$和$F(x,y,z)=0$所确定的函数，其中$f$和$F$分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

设$S$为椭球面$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$的上半部分，点$P(x,y,z)\in S$，$\pi$为$S$在点$P$处的切平面，$\rho (x,y,z)$为点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离，求${\iint }_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}\mathrm{d}S$。

设$z=(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-\arctan \frac{y}{x}}$。完成下列各问：

设$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，$y=y(x)$和$z=z(x)$分别由方程${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$和${\mathrm{e}}^x-xz=0$所确定，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，而$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y)$满足方程$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}={\mathrm{e}}^{2x}z$，求$f(u)$。